Lista de exercícios 1

 

 

1. Faça a épura dos objetos a seguir e represente as seções produzidas por um Plano de Nível
(β ) dado por sua cota. Considere que todos estão com a base no PHp.
a. Prisma de base hexagonal regular, sendo (A) (3 , 2 , ?) e (B) (6, 1 , ?), pontos
consecutivos da base
Altura do prisma = 6cm e β2 = 3cm.
b. Pirâmide reta de base quadrada, sendo (A) (0 , 5 , ?) e C (2 , 2 , ?) a diagonal da base.
Altura da pirâmide (h) = 7cm e β2 = 4cm.
c. Tetraedro regular, sendo (A) (3 , 2 , ?) e (B) (6 , 1 , ?) vértices da base, e β2 = 1cm.
2. Represente os seguintes objetos, que estão apoiados no PVP e seccionados por um Plano
Frontal (α), dado por seu afastamento.
a. Cubo → sendo (A) (0 , ? , 4) e (B) (3 , ? , 2) vértices de uma mesma aresta da base, e α1
= 3cm.
b. Cone → (O) (2 , ? , 4) é o centro da circunferência da base, cujo raio r = 3cm e que
possui h=7cm. Plano Secante: α1 = 2cm
c. Tetraedro regular → (A) (1 , ? , 3) e (B) (5 , ? , 6) são vértices da mesma aresta da base.
Plano Secante: α1 = 1,5. Considere (B) como sendo o ponto de maior cota.
d. Pirâmide reta de base heptagonal → (A) (1 , ?, 4) e (B) (4 , ? , 1) são vértices da mesma
aresta da base, e a altura h = 6 cm. Planto Secante: α1 = 3cm.
3. Faça a representação em épura de uma pirâmide reta de base pentagonal regular apoiada no
PVP e seccionada pelo plano de nível (β).
Dados: (A)(0 , ? , 3) e (B)(4 , ? , 1) são vértices consecutivos da base,
hpirâmide = 5cm e β2= 4cm.
4. A base de um prisma de 4,0cm de altura é um triângulo equilátero (A)(B)(C) situado no PHp.
Pede-se determinar a seção produzida no sólido, por um plano frontal que passa no meio da
aresta (B)(C). O vértice (C) é o de maior afastamento. Dados: (A)(1; 2; ?) (B)(5; 3; ?).
5. Achar as projeções e a VG da seção produzida pelo plano de perfil (α) numa pirâmide reta de
base pentagonal regular. Dados:
a. base ABCDE contida no PHp:
b. lado AB (A) (2;4;?) (B) (4;2;?)
c. altura da pirâmide =7,0cm
d. αo=5,5cm
6. Representar um cilindro reto, cuja base circular está apoiada no PHp. Em seguida seccioná-lo
por um Plano Frontal, de afastamento = 5,0. Dados:
a. Centro da base do Cilindro (3; 3,5; ?) b. Raio da Base = 2,5cm.

 

 

Lista de exercícios 2 

Complementação e Questões teóricas
Antes de resolver os exercícios, elaborar o croquis de todos os exercícios

1. Como se projetam as figuras contidas em:
a. Planos perpendiculares a planos de projeção
b. Planos paralelos a planos de projeção
c. Planos oblíquos a planos de projeção.
2. Quais são as retas que podem estar contidas nos planos a seguir e quais a suas principais
características:
a) Planos de Nível;
b) Planos Frontais;
c) Planos de Perfil.
3. O que as retas a seguir tem em comum:
a) Retas Frontal, Vertical e Fronto-Horizontal.
b) Retas de Topo, Horizontal e Fronto-Horizontal
c) Retas Vertical, de Perfil e de Topo
4. Como se projetam as retas a seguir ( posição em relação à LT):
a) Retas Oblíquas
b) Retas Horizontais
c) Retas de Perfil
5. Quais as retas que possuem pelo menos uma das projeções em VG e por que?
6. Como se projetam as retas que são:
a) Paralelas ao plano de projeção
b) Oblíquas ao plano de projeção
c) Perpendiculares ao plano de projeção
7. Represente os seguintes sólidos apoiados no plano de perfil α e seccionados pelo plano de perfil β.
Considere A e B como vértices consecutivos da base apoiada, h como altura, r como raio da
circunferência circunscrita à base e O como centro da circunferência circunscrita à base.
a) Tetraedro regular: α0 = 3, β0 = 1, A (? ; 5 ; 1) e B (? ; 2 ; 5)
b) Cone reto: α0 = 0, β0 = -3, O (? ; 4 ; 4), r = 3cm e h = 8cm.
c) Pirâmide de base quadrada: α0 = 4, β0 = 0, h = 6cm, A(? ; 2 ; 3) e B (? ; 5 ; 1)
d) Pirâmide de base pentagonal: α0 = 6, β0 = 4, h = 6cm, A(? ; 2 ; 5) e B(? ; 1 ; 3)
8. Faça a épura dos cilindros retos apoiados por uma de suas bases em um plano de perfil α, represente
também a seção feita pelo plano β,sabendo que:
a. O plano β é Frontal. O é o centro da base apoiada em α. (O) (?; 8 ; 5), r = 4cm,
h =8cm, α0 = 0 e β1 = 7cm
b. O plano β é de Nível.. O é o centro da base apoiada em α O (? ; 5 ; 5) ϵ α, r = 2,5cm, h =
5cm α0 = 2, β2 = 3cm.
9. Determine as projeções, após a seção pelo plano β, de um:
a. Cubo, no qual A (? ; 1 ; 4) e B (? ; 4 ; 3) são vértices consecutivos da base apoiada no plano de
perfil α, seccionado pelo plano β, frontal. (α0 = 4 e β1 = 2,5).
b. Prisma de base retangular onde A (? ; 5 ; 2) e B (1 ; 2 ; 6) são vértices adjacentes da base
apoiada em α (um plano de perfil), h = 9cm e a relação entre as arestas da base é 3/5. O objeto
foi seccionado pelo plano β , de nível de cota = 4,5cm.
10. Uma pirâmide de base hexagonal regular tem sua base apoiada no plano de perfil α e o segmento AD é
uma de suas diagonais. Sabendo que a altura da pirâmide é 8 cm, represente as suas projeções após
seccionada pelo plano frontal β, e por um plano de nível γ.
Dados: A (? ; 2 ; 4), D(6 ; 8 ; 6) e β1 = 6,5 cm, γ2 = 6,5cm.
11. Um tetraedro regular está com a face ABC apoiado no plano de perfil α. Pede-se:
a. as suas projeções;
b. as projeções e a VG da seção produzida pelo plano de perfil β;
c. as projeções da seção produzida no tronco de tetraedro por um plano de nível γ.
Dados:
Aresta AB: (A)( 1; 1; 5) (B) (?; 7; 0.5)
Planos secantes: Abscissa de β = -2 cm;
Cota de γ = 5,5 cm.

 

 

Lista de exercícios 3

REPRESENTAÇÃO E SEÇÃO DE OBJETOS COM BASE NOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Planos: vertical e de topo. Antes de resolver os exercícios, elaborar o croquis de todos os exercícios

1. Um plano vertical (γ) secciona um prisma de base hexagonal regular apoiado no PHP. Represente as três
projeções do prisma e da seção, bem como dê a sua VG.
Dados: γ0= 0cm e γ1 = -45º;
Altura do prisma = 9 cm;
(O) (4 ; 5 ;?) é o centro da base e (A) (7 ; 6 ; ?) é um vértice da base.
2. Faça as três projeções de um prisma de base retangular apoiado no PVP seccionado pelo plano vertical γ.
Dados: (A) (3 , ? , 5) e (B) (6 , ? , 7) são vértices da aresta maior da base;
A aresta menor da base mede 2 cm;
h = 10 cm;
γ0 = 2cm , γ1 = -50º.
3. Construa as épura de uma pirâmide de base quadrada com 9 cm de altura, apoiada no PHp e seccionada
pelo plano vertical β, de abcissa 2cm e que faz -45ºcom o PVp. Os pontos (A) (4 ; 6 ; ?) e (B), além de
pertencerem à base apoiada, pertencem a uma reta horizontal que faz 120° com o PVp e que cada aresta
da base mede 4cm. Observar que (B) tem abcissa maior que (A).
4. Sabe-se que um prisma tem como base um triângulo isósceles ABC apoiada no plano de perfil (α), de
abcissa igual a 5cm. Sabendo que sua altura é igual a 6cm, A (? ; 3 ; 5) e B (? ; 4 ; 1) são vértices da base,
ângulo BÂC mede 140° e AB e AC são os lados congruentes do triângulo isósceles, determine as
projeções deste sólido após seccionado pelo plano vertical ( β), de abcissa -2 e que faz um ângulo de -
45°com o PVP.
5. Representar as projeções de um cone com sua base apoiada no PVp e seccionado por um plano (β),
vertical. Sabe-se que o centro da base apoiada é o ponto O (5 ; ? ; 5), que o raio da base é 3,5cm e o cone
tem 6 cm de altura. Dados: β0 = 0 e β1 = -30°.
6. Um prisma de base triangular regular apoiado no plano de perfil (α) é seccionado por um plano de topo (δ).
Faça suas projeções.
Dados: α0 =3, δ0= 1 e X(-3 , 2 , 8) ϵ (δ);
h = 5 cm.
(A) (? ; 2 ;3) (B) (? ; 3 ; 7) aresta da base
7. Representar as projeções de um prisma de base pentagonal apoiado no PHP e seccionado pelo plano de
topo (δ).
Dados: δ0 = 3 e S (10 ; 1 ; 4) ϵ δ;
(A) ( 5 ; 4 ; ?) e (B) (7 ; 2 ; ?) são vértices consecutivos da base;
h= 6cm.
8. Um tetraedro regular ABCD tem sua base ABC apoiada no PHp. Sendo A (-3 ; 2 ; ?) e B (5 ; 5 ; ?) as
coordenadas dos pontos A e B respectivamente, representar em épura o tetraedro após seccionado por um
plano de topo (α), que possui abcissa 7 e faz 150° com o PHp.
9. Faça a épura de uma pirâmide de 7cm de altura, apoiada pela base hexagonal no PVp e que é seccionada
pelo plano de topo (α), cujas coordenadas são α0 = -4,0 e α2 = 60°. Os pontos A e D pertencem à base,
situam-se sobre uma reta frontal que faz 60° com o PHp e estão a 11,5 cm de distância um do outro.
Dados do ponto (A)(0; ?; 5)
10. Uma pirâmide de base heptagonal regular tem sua base ABCDEFG apoiada no PHp, onde A é o ponto de
maior abcissa. O plano de topo (α) faz uma seção nesta pirâmide.
Dados: h = 5cm; B está a 2cm de A e o segmento AB faz -135° com o PVp, sendo (A)(6; 4; 0);
α0 =0 e α2= 30°
11. Represente uma pirâmide cuja base octogonal regular está apoiada no PVp, tem 8 cm de altura e que sofre
duas seções consecutivas, sendo a primeira pelo plano de perfil (γ) e a segunda pelo plano vertical (β).
Considere A (4 ; ? ; 5) e B (2 ; ? ; 2), como sendo pontos consecutivos da base, γ0 = -2,5 , β0 = -6cm e
β1 = -30°.
12. Represente a épura de um prisma de base pentagonal regular cuja base ABCDE está apoiada no plano de
perfil α. Sabe-se que (O) (0 ; 4 ; 5) centro da circunferência que circunscreve a base e (A) (? ; 3,5; 1.5)
vértice da base e o prisma mede 7 cm de altura.
Em seguida, represente as projeções e VG da seção produzida por um plano de topo δ. Dados: δ0= -9;
(M) ( -2 ; 7 ; 8) pertence δ.
13. Um cilindro reto de 5cm de altura está apoiado por uma de suas base no plano de perfil (α) e foi
seccionado pelo plano vertical (β), do qual se conhece o ponto (X) ( 2 ; 6 ; 4,5) pertencente ao plano. Sabese
que (O) (3 ; 6 ; 5) é o centro da base apoiada em α e o raio da base é igual a 4,5cm. Represente as
projeções do objeto e as projeções e VG da seção.
Dados: abcissa do plano secante = -4cm
14. Uma pirâmide tem como base um heptágono regular que está apoiado no plano de perfil (α), cuja abcissa é
igual a 3cm, estando seu vértice (V) a 7cm do plano (α). Considerando (A)(? ; 4 ; 4) e (B) (? ; 7 ; 3) vértices
consecutivos da base, represente em épura as projeções e a VG da seção produzida pelo plano de topo (β)
que faz 50°com o PHp e tem abcissa -4cm.
15. Determine as projeções de uma pirâmide de base hexagonal regular, na qual (A)(? ; 2 ; 5) e( b) são pontos
de uma mesma aresta da base. Em seguida, represente as projeções e a VG da seção feita por um plano
vertical (δ). Dados: O ponto B é simétrico de A em relação ao plano bissetor ímpar.
A base da pirâmide está apoiada no plano de perfil (α), onde α0= 3; h = 8cm
δ0= -5cm e δ1=-60°;
16. Construa a épura de uma pirâmide de base pentagonal regular, cuja base ABCDE está apoiada no plano de
perfil γ, de abcissa 8cm e é seccionado pelo plano frontal δ de afastamento 8 e depois pelo plano de topo α,
que faz um ângulo de 60° com o PHp e possui abcissa 0,5cm.
Dados: (O) Centro da circunferência que circunscreve a base = (8; 6; 6)
(A)(?; 3; 1) é um dos vértices da base
Altura da pirâmide = 7,0cm
17. Um cone circular reto apoiado no plano de perfil γ, situado 4cm à direita do plano de origem das abcissas é
seccionado pelo plano vertical β. Faça a épura desta situação sabendo que:
O (? ; 7 ; 6) é o centro da base;
O diâmetro da base e o comprimento da geratriz é igual a 10 cm;
A seção é parabólica e a abcissa do plano = -10 cm.
18. Represente, em épura, uma pirâmide que tem sua base quadrada apoiada no plano de perfil α, localizado a
3cm à direita do plano de origem das abcissas, e seccionada por um plano de topo β, considerando que:
a) A (? ; 5 ; 1) e B (? ; 2 ; 6) são vértices consecutivos da base;
b) A pirâmide é reta e seu vértice é o ponto V (-1; ? ; ?).
c) β 0= -3cm e β2 = 60°;
19. Represente os seguintes sólidos considerando que eles estão apoiados no plano de perfil α e sofrem duas
seções cada: a primeira pelo plano β e a segunda pelo plano θ.
a) Prisma de base heptagonal, onde A (? ; 3 ; 4) e B(? ; 5 ; 2) são vértices da base que está apoiada no
plano α, seccionado pelo plano β de nível em seguida pelo plano θ de topo. Dados: h= 6cm, α0 =5cm;
β2=6cm; θ0 = -2cm, θ2 = 50°.
b) Tetraedro regular, no qual A(? ; 2 ; 8) e B (? ; 9 ; 1) são vértices consecutivos na base situado no plano
α, de abcissa 6cm, seccionado pelo plano β frontal, em seguida pelo plano θ vertical. Dados: Β1 =
9,5cm; θ0 = -10,5cm e θ1 = -45°.

 

 

Lista de Exercícios 4

SÓLIDOS APOIADOS NO PHp - SEÇÃO COM PLANOS NÃO-PROJETANTES

 

1. Determinar a VG da seção produzida em uma pirâmide reta, de base hexagonal regular contida no
PHp, por um plano Paralelo à Linha de Terra.
Dados: Raio da circunferência que circunscreve a base = 3,0cm; as projeções horizontais de duas
arestas laterais formam ângulo de -45º com a LT; o vértice (A) da base é o de menor afastamento;
vértice da pirâmide (0; 3,5; 7). Plano secante: Afastamento = 7,0cm Cota = 3,5 cm.
2. O quadrado (ABCD) situado no PHp é a base de uma pirâmide reta de 4,0cm de altura. Determine
as projeções da pirâmide e a VG da seção produzida por um plano de Rampa. Dados: (A)(1; 0,5; 0)
(B)(1; 3; 0) Afastamento do traço horizontal do plano = 4,0cm; Cota do traço vertical do plano
secante = 2,0cm.
3. Um prisma reto de 6,0cm de altura possui sua base quadrada (ABCD) contida no PHp. Determine
suas projeções e a VG da seção feita neste sólido por um Plano Que Passa pela LT e pelo ponto (M).
Dados: (A)(0; 4; ) (B)(1; 1; 0) (M)(5; 3; 2).
4. Desenvolver a superfície lateral da pirâmide de eixo vertical e base hexagonal regular, seccionada
por plano paralelo à LT e determinar a VG e a transformada da seção.
Dados: Raio da Base = 3,0 cm. As projeções horizontais de duas arestas laterais formam ângulo de -
45° com a LT. O vértice da base (A) é o de menor afastamento. O vértice da pirâmide (V) (0 ; 3,5 ; 7)
Plano Secante: Afastamento do traço do plano:7,0 Cota do traço do plano:3,5
5. Traçar as projeções e a VG da seção feita por um plano qualquer num prisma reto de base
hexagonal apoiada no PHp. Desenvolver e dar a transformada da seção.
Dados: Lado (AB) da base: (A)(0 ; 4 ; ?) e (B)(1 ; 1; ?) Ponto de encontro dos traços do plano:9,0
Traço horizontal do plano:-120º Traço Vertical do plano: 130º Altura do prisma:11 cm
6. Um prisma reto de base quadrangular regular foi seccionado por um plano que passa pela LT
formando 30º com o PHp. Pede-se: Desenvolver a superfície e dar a transformada da seção; as
projeções do tronco do prisma; as projeções e a VG da seção.
Dados: O lado (AB) da base forma 30º com o PV. (A)(3,5 ; 0,5 ; 0) e (B)(5,5 ; ?; 0)
7. Determinar as projeções da elipse resultante da seção feita num cone circular de eixo vertical, por
um plano alfa paralelo à LT. Marcar a transformada da seção no desenvolvimento da superfície lateral
do cone e dar a VG da seção.
Dados: Cone – Raio da base = 2,5 cm Projeções do centro da base (O)(0 ; 3 ;0) Altura do cone: 7,0
Plano Secante – traço horizontal do plano = 6,5 cm; traço vertical do plano = 5,0 cm
8. Representar a VG da seção feita num cilindro reto, apoiado no PHp, por um plano qualquer.
Desenvolver a superfície marcando a transformada da seção.
Dados: Cilindro – Raio da base: 2,5cm; Projeções do centro da base (O)(0 ; 3 ;0) Altura = 8,0cm
Plano Secante: Ponto de encontro dos traço do plano (T)(4,5 ; 0 ;0); Traço vertical do plano = 135° e
Traço horizontal do plano = -120º.
9. Dar as projeções e o desenvolvimento de um tronco de cilindro reto limitado pela base circular
apoiada no PHp e a seção feita pelo plano alfa.
Dados: Cilindro – Raio da base: 2,0 cm ; Centro da base (O)(8,5 ; 4 ; ?)
Plano Secante – Ponto de encontro dos traços do plano – 1,0; Traço horizontal do plano = -45º; Traço
vertical do plano = 60º.
10. Dar a VG da hipérbole resultante da seção feita num cone circular de eixo vertical de duas folhas,
por um plano oblíquo. Desenvolver a superfície lateral, marcando a transformada da seção.
Dados: Cone – Raio da base = 3,0cm; Centro da base (O)(0 ; 3,5 ; 0); Cota do vértice = 8,0cm; Cota
do plano horizontal da base superior: 15.
Plano Secante – Traço horizontal: -135º; Traço vertical:105º; Ponto de encontro dos traços do plano
(T)(7 ; ? ; ?)